Если функция нечетная то. Четные и нечетные функции

Чётность и нечётность функций

Если функция нечетная то. Четные и нечетные функции

Привет всем посетителям! Сегодня рассматриваем вопрос четности и нечетности функций.

Правило:

Если , то функция четная.

Если , то функция нечетная.

При этом важно, чтобы область определения функции была бы симметричной относительно оси ординат, а при наличии в ней выколотых точек или интервалов они также должны располагаться симметрично.

Алгоритм исследования:

Установить, симметрична ли область определения функции. Если это так, то  найти и сравнить с

Если то функция — четная.
Если , то функция нечетная.

Функция совсем не обязана быть четной или нечетной, она может быть «никакой», несмотря на то, что область определения симметрична.

Примеры:

1. Определить, является ли четной функция: .

Область определения этой функции – все действительные числа, то есть она симметрична. Теперь подставим вместо x – (-x) и посмотрим, что получится:

– функция четна.

Надо отметить, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, она для него словно зеркало. Поэтому графики таких функций можно строить в правой полуплоскости, а в левую просто отражать.

Верно и следующее:  если функция задана графиком, который симметричен относительно оси ординат, то она четная.

2. Определить, является ли четной функция: .

Область определения этой функции может быть найдена из системы неравенств:

Оба неравенства всегда соблюдаются, так как дискриминант обоих трехчленов всегда меньше 0, и ветви парабол направлены вверх – таким образом, мы установили, что область определения симметрична – это вся числовая ось.
Теперь подставим вместо x – (-x): – данная функция нечетна.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат, то есть каждой его точке соответствует точка, получить которую можно поворотом на 180 градусов относительно начала координат. Поэтому графики таких функций можно строить в правой полуплоскости, а изображение в левой полуплоскости получить, повернув картинку на 180 градусов.

Верно и следующее:  если функция задана графиком, который симметричен относительно начала координат, то она нечетная.

3. Определить, является ли четной функция: .

Область определения может быть найдена из системы неравенств:

Таким образом, область определения симметрична,  и не содержит выколотые точки (1) и (-1).

Подставляем (-х) вместо х:

– исходную функцию не получили, а получили совсем другую – значит, исходная функция не является ни четной, ни нечетной (что и подтверждает график). Мы убедились, что симметрия области определения еще не означает, что функция четная или же нечетная.

4. Определить, является ли четной функция: .

Область определения – вся числовая ось, кроме 0 – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

– функция нечетна.

5. Определить, является ли четной функция: .

Область определения – вся числовая ось, кроме точек 3 и (-3) – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

– функция четная.

6. Определить, является ли четной функция: .

Область определения – вся числовая ось – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

– функция четная.

7. Определить, является ли четной функция: .

Область определения – вся числовая ось, кроме 0 – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

– функция нечетная.

Кроме того, здесь мы имеем дело с суммой двух функций.

Правило:

Сумма двух нечётных функций  –  нечётна.

Сумма двух чётных функций  –  чётна.

А вот сумма двух функций разной четности – как правило, ни четна, ни нечетна.

Определим четность этих функций по отдельности.

– функция нечетная.

– функция нечетная.

8. Исследуем теперь такую функцию:

Одна из них нечётна – это мы только что показали, а вторая?

Область определения функции симметрична, функция нечётна, так как . Тогда по правилу сложение двух нечетных функций даст функцию нечетную.

9. Наконец, последняя:

– имеем произведение двух функций.

Правило:

Произведение или частное  двух нечётных функций чётно.

Произведение или частное двух чётных функций чётно.

Произведение или частное нечётной и чётной функций нечётно.

Так как обе функции являются чётными, то и их произведение чётно.

Проверим?

Область определения – вся числовая ось. Производим подстановку:

– функция четная.

Источник: https://easy-physic.ru/chyotnost-i-nechyotnost-funktsij/

Четность-нечетность функции. Период функции

Если функция нечетная то. Четные и нечетные функции

Пусть функция задается формулой: y=2x{2}-3. Назначая любые значения независимой переменной x, можно вычислить, пользуясь данной формулой соответствующие значения зависимой переменной y. Например, если x=-0,5, то, пользуясь формулой, получаем, что соответствующее значение y равно y=2 \cdot (-0,5){2}-3=-2,5.

Взяв любое значение, принимаемое аргументом x в формуле y=2x{2}-3, можно вычислить только одно значение функции, которое ему соответствует. Функцию можно представить в виде таблицы:

Пользуясь данной таблицей, можно разобрать, что для значения аргумента −1 будет соответствовать значение функции −3; а значению x=2 будет соответствовать y=0 и т.д. Также важно знать, что каждому значению аргумента в таблице соответствует лишь одно значение функции.

Еще функции возможно задать, используя графики. С помощью графика устанавливается какое значение функции соотносится с определенным значением x. Наиболее часто, это будет приближенное значение функции.

Четная и нечетная функция

Функция является четной функцией, когда f(-x)=f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно оси Oy.

Функция является нечетной функцией, когда f(-x)=-f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно начала координат O (0;0).

Функция является ни четной, ни нечетной и называется функцией общего вида, когда она не обладает симметрией относительно оси или начала координат.

Исследуем на четность нижеприведенную функцию:

f(x)=3x{3}-7x{7}

D(f)=(-\infty ; +\infty ) с симметричной областью определения относительно начала координат. f(-x)= 3 \cdot (-x){3}-7 \cdot (-x){7}= -3x{3}+7x{7}= -(3x{3}-7x{7})= -f(x).

Значит, функция f(x)=3x{3}-7x{7} является нечетной.

Периодическая функция

Функция y=f(x), в области определения которой для любого x выполняется равенство f(x+T)=f(x-T)=f(x), называется периодической функцией с периодом T eq 0.

Повторение графика функции на любом отрезке оси абсцисс, который имеет длину T.

Промежутки, где функция положительная, то есть f(x) > 0 – отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих выше оси абсцисс.

f(x) > 0 на (x_{1}; x_{2}) \cup (x_{3}; +\infty )

Промежутки, где функция отрицательная, то есть f(x) < 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x) < 0 на (-\infty; x_{1} ) \cup (x_{2}; x_{3} )

Ограниченность функции

Ограниченной снизу принято называть функцию y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число A, для которого выполняется неравенство f(x) \geq A для любого x \in X.

Пример ограниченной снизу функции: y=\sqrt{1+x{2}} так как y=\sqrt{1+x{2}} \geq 1 для любого x.

Ограниченной сверху называется функция y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число B, для которого выполняется неравенство f(x) eq B для любого x \in X.

Пример ограниченной снизу функции: y=\sqrt{1-x{2}}, x \in [-1;1] так как y=\sqrt{1+x{2}} eq 1 для любого x \in [-1;1].

Ограниченной принято называть функцию y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число K > 0, для которого выполняется неравенство \left | f(x) \right | eq K для любого x \in X.

Пример ограниченной функции: y=\sin x ограничена на всей числовой оси, так как \left | \sin x \right | eq 1.

Возрастающая и убывающая функция

О функции, что возрастает на рассматриваемом промежутке принято говорить как о возрастающей функции тогда, когда большему значению x будет соответствовать большее значение функции y=f(x). Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значения аргумента x_{1} и x_{2}, причем x_{1} > x_{2}, будет y(x_{1}) > y(x_{2}).

Функция, что убывает на рассматриваемом промежутке, называется убывающей функцией тогда, когда большему значению x будет соответствовать меньшее значение функции y(x). Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значений аргумента x_{1} и x_{2}, причем x_{1} > x_{2}, будет y(x_{1}) < y(x_{2}).

Корнями функции принято называть точки, в которых функция F=y(x) пересекает ось абсцисс (они получаются в результате решения уравнения y(x)=0).

а) Если при x > 0 четная функция возрастает, то убывает она при x < 0

б) Когда при x > 0 четная функция убывает, то возрастает она при x < 0

в) Когда при x > 0 нечетная функция возрастает, то возрастает она и при x < 0

г) Когда нечетная функция будет убывать при x > 0, то она будет убывать и при x < 0

Экстремумы функции

Точкой минимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0}, у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0}), и для них тогда будет выполняться неравенство f(x) > f(x_{0}). y_{min} – обозначение функции в точке min.

Точкой максимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0}, у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0}), и для них тогда будет выполняется неравенство f(x) < f(x{0}). y_{max} - обозначение функции в точке max.

Необходимое условие

Согласно теореме Ферма: f'(x)=0 тогда, когда у функции f(x), что дифференцируема в точке x_{0}, появится экстремум в этой точке.

Достаточное условие

  1. Когда у производной знак меняется с плюса на минус, то x_{0} будет точкой минимума;
  2. x_{0} – будет точкой максимума только тогда, когда у производной меняется знак с минуса на плюс при переходе через стационарную точку x_{0}.

Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке

Шаги вычислений:

  1. Ищется производная f'(x);
  2. Находятся стационарные и критические точки функции и выбирают принадлежащие отрезку [a; b];
  3. Находятся значения функции f(x) в стационарных и критических точках и концах отрезка. Меньшее из полученных результатов будет являться наименьшим значением функции, а большее — наибольшим.

Источник: https://academyege.ru/page/chetnost-i-nechetnost-funkcii-period-funkcii-ehkstremumy-funkcii.html

9 класс. Алгебра. Четные и нечетные функции. – Четность и нечетность функций

Если функция нечетная то. Четные и нечетные функции

На этом уроке мы дадим строгие определения четных и нечетных функций, рассмотрим их свойства и решим некоторые задачи.

Важным свойством четной функции является симметричность графика функции относительно оси у, важным свойством нечетной функции является симметричность графика относительно точки начала координат.

Также на уроке мы выработаем методику исследования функции на четность и нечетность и решим ряд задач.

Тема: Чис­ло­вые функ­ции

Урок: Опре­де­ле­ния и свой­ства чет­ных и нечет­ных функ­ций

 1. Тема урока, введение

В этом уроке будут даны стро­гие опре­де­ле­ния чет­ных и нечет­ных функ­ций, рас­смот­ре­ны их свой­ства, ре­ше­ны неко­то­рые за­да­чи.

 2. Основные определения

Опре­де­ле­ние 1: Функ­ция  на­зы­ва­ет­ся чет­ной, если для лю­бо­го зна­че­ния x из мно­же­ства X вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство: 

Опре­де­ле­ние 2: Функ­ция  на­зы­ва­ет­ся нечет­ной, если для лю­бо­го зна­че­ния x из мно­же­ства X вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство: 

При­ме­ры:

1.  чет­ная, т.к. 

2.  нечет­ная, т.к. 

3.  чет­ная, 

4. нечет­ная, .

Дадим раз­вер­ну­тое опре­де­ле­ние чет­ной функ­ции.

Опре­де­ле­ние 3: Функ­цию  на­зы­ва­ют чет­ной, если вы­пол­не­ны два усло­вия для всех 

1. Об­ласть опре­де­ле­ния сим­мет­рич­на от­но­си­тель­но нуля, т.е.

2. 

Из опре­де­ле­ния вы­те­ка­ет важ­ное свой­ство чет­ной функ­ции:

Гра­фик чет­ной функ­ции сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но оси y (Рис. 1).

Дадим раз­вер­ну­тое опре­де­ле­ние нечет­ной функ­ции.

Опре­де­ле­ние 4: Функ­цию  на­зы­ва­ют нечет­ной, если вы­пол­не­ны два усло­вия для всех 

1. Об­ласть опре­де­ле­ния сим­мет­рич­на от­но­си­тель­но нуля,  т.е. 

2. 

Из опре­де­ле­ния нечет­ной функ­ции вы­те­ка­ет свой­ство: Гра­фик нечет­ной функ­ции сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но т. (0; 0) (Рис. 2).

Если функ­ция  не яв­ля­ет­ся ни чет­ной, ни нечет­ной, то ее на­зы­ва­ют функ­ци­ей об­ще­го вида.

 3. Примеры

При­ме­ры:

При­мер 1. Опре­де­ли­те вид функ­ции 

 чет­ная функ­ция, ее гра­фик сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но оси y.

При­мер 2. Опре­де­ли­те вид функ­ции 

В точке  функ­ция не су­ще­ству­ет, а в точке  су­ще­ству­ет. Об­ласть опре­де­ле­ния несим­мет­рич­на от­но­си­тель­но нуля, зна­чит функ­ция об­ще­го вида.

При­мер 3.Опре­де­ли­те вид функ­ции 

Обе точки вы­ко­ло­тые, гра­фик и об­ласть опре­де­ле­ния сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат, функ­ция чет­ная.

При­мер 4. Опре­де­ли­те вид функ­ции 

рафик и об­ласть опре­де­ле­ния сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат, функ­ция нечет­ная.

При­мер 5. Опре­де­ли­те вид функ­ции 

В точке с абс­цис­сой 2 функ­ция не су­ще­ству­ет, в точке с абс­цис­сой -2 су­ще­ству­ет. Об­ласть опре­де­ле­ния несим­мет­рич­на от­но­си­тель­но нуля, это функ­ция об­ще­го вида.

При­мер 6. Опре­де­ли­те вид функ­ции 

Об­ласть опре­де­ле­ния сим­мет­рич­на от­но­си­тель­но нуля, функ­ция нечет­ная.

 4. Примеры на исследование функции

Рас­смот­рим при­ме­ры на свой­ства чет­ных и нечет­ных функ­ций.

При­мер 7: Ис­сле­до­вать на чет­ность функ­цию 

Ре­ше­ние:

Пер­вый спо­соб:

,функ­ция чет­ная.

Вто­рой  спо­соб:

Воз­ве­дем в квад­рат обе части ра­вен­ства. Тогда вме­сто урав­не­ния по­лу­чим си­сте­му:

Вто­рое урав­не­ние по­лу­чен­ной си­сте­мы – урав­не­ние окруж­но­сти с цен­тром в т.(0; 0) ра­ди­у­сом 4. Но т.к.  , гра­фи­ком урав­не­ния яв­ля­ет­ся верх­няя по­лу­окруж­ность (Рис. 9).

Гра­фик сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но оси y, по­это­му функ­ция чет­ная.

Ответ: Функ­ция чет­ная.

При­мер 8. Из­вест­но, что функ­ция  чет­ная и убы­ва­ет при  Опре­де­ли­те ха­рак­тер мо­но­тон­но­сти функ­ции при 

Ре­ше­ние:

Нам из­вест­но, что функ­ция убы­ва­ет на луче . Раз она опре­де­ле­на на луче  и яв­ля­ет­ся чет­ной, то она опре­де­ле­на и на луче 

Гра­фик чет­ной функ­ции сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но оси y, т.е. функ­ция воз­рас­та­ет на луче 

В ка­че­стве при­ме­ра изоб­ра­зим гра­фик функ­ции  (Рис. 10).

Ответ: Функ­ция воз­рас­та­ет при 

При­мер 9. Дана функ­ция , где 

За­дай­те  так, чтобы функ­ция  яв­ля­лась

а. чет­ной

б. нечет­ной.

Ре­ше­ние:

Если функ­ция чет­ная, ее гра­фик сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но оси y, т.е.  (Рис. 11).

Если функ­ция нечет­ная, ее гра­фик сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но т. (0; 0), т.е.  (Рис. 12).

Источник конспекта:http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/opredeleniya-i-svoystva-chetnyh-i-nechetnyh-funktsiy?konspekt&chapter_id=34

Источник видео: http://www..com/watch?v=miS95DyEdwk

Нет дополнительных материалов для этого занятия.

Источник: https://www.kursoteka.ru/course/3733/lesson/12580/unit/30860

Четность и нечетность функции – алгоритм исследования, условие и примеры

Если функция нечетная то. Четные и нечетные функции

Исследование функции на четность и нечетность — базовый элемент, показывающий ее поведение, которое зависит от значения аргумента.

Последний является независимой переменной, соответствующей определенным допустимым значениям. Множество чисел, которое может принимать неизвестная независимого типа, называется областью определения.

Областью значений функции вида y = f (x) являются все значения зависимой переменной «y».

Теперь следует сформулировать список базовых знаний, которые необходимы для анализа выражений на четность. Если нужно выполнить другие процедуры исследования, то его следует расширить. Например, для нахождения максимума следует ознакомиться с производной. Необходимый минимум знаний о функциях следующий:

  1. Область определения — D (f).
  2. Виды.
  3. Правила.
  4. Свойства для четных и нечетных.
  5. Классификация.

Первый элемент необходим для выявления аргумента, при котором можно узнать его недопустимые значения, а также определить симметричность. От свойств и вида также зависит четность.

Первое рекомендуется применять в частных случаях, например, произведение двух нечетных тождеств. Результат следует проверять при помощи соответствующего программного обеспечения.

Например, онлайн-калькулятор четности и нечетности функций позволяет следить за правильностью решения.

Область определения

Первый элемент, который нужен для анализа, следует рассмотреть подробнее. Область определения функции z = g (y) специалисты рекомендуют обозначать литерой «D». Полная запись выглядит таким образом: D (z). Кроме того, следует выяснить симметричность множества. Под последним понимается некоторый интервал, который нужно найти.

D (z) записывается в виде множества. Например, D (z) = [1;8]. Запись значит ограниченность аргумента, принимающего значения от 1 включительно до 8 включительно, то есть следующие цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Если указана запись в виде (1;4), то ее нужно трактовать таким образом: от 1 не включительно до 4 не включительно, то есть в интервал входят только числа 2 и 3.

Для определения величины D (z) необходимо решить неравенство, корнем которого являются все значения аргумента. Для этих целей можно использовать и специализированное программное обеспечение. Математики рекомендуют свести пользование решебниками и программами к минимуму, поскольку не всегда предоставится возможность воспользоваться ими на экзаменах или контрольных.

Основные виды

Исследование функции зависит от ее вида, который нужно правильно определять. Для начала следует обозначить сложность, поскольку от этого параметра зависят дальнейшие действия и свойства, которыми придется руководствоваться. Математики производят разделение таким образом:

  • Простые: алгебраические, трансцендентные и тригонометрические.
  • Составные или сложные.

Алгебраические делятся на рациональные (без корня) и иррациональные (наличие радикала). Первые состоят из целых и дробных. D (z) для этих типов — все множество действительных чисел.

Если функция представлена в виде обыкновенной дроби, то значение аргумента, приводящее к пустому множеству (знаменатель равен нулю), нужно исключить. Когда аргумент находится под знаком радикала (корня), тогда она считается иррациональной.

Однако следует проверить, чтобы под корнем четной степени не было отрицательного значения, которое приводит к неопределенности.

Все функции, содержащие sin, cos, tg и ctg, являются тригонометрическими. Кроме того, arcsin, arccos, arctg и arcctg — обратные тригонометрические. Трансцендентные можно разделить на такие три группы: показательные, степенные и логарифмические.

Второе отличается от первого формулой. Другой тип классификации основан на периодичности. В зависимость от этого параметра все функции делятся на периодические и непериодические. Параметр периодичности означает повторение ее поведения через определенный период Т.

Существует еще один критерий. Он называется монотонностью. В зависимости от него, функции бывают монотонными и немонотонными. Первая группа характеризуется постоянностью, то есть она либо убывает, либо возрастает. Все остальные могут убывать и возрастать на определенных промежутках. Примером является y = cos (x), поскольку она является убывающей и возрастающей через определенный период.

Правила для выявления

Для того чтобы исследовать на четность, существует два правила или теоремы, которые записываются в виде двух формул. Четная — функция вида w (x), для которой справедливо такое равенство: w (-x) = w (x). Для нечетной соотношение немного другое: w (-x) = w (x). Однако бывают выражения, к которым не применимы эти тождества. Они принадлежат общему виду.

Для оптимизации решения специалисты рекомендуют использовать некоторую последовательность действий или специальный алгоритм. Он позволяет определить четность за минимальный промежуток времени и без ошибок. Необходимо обратить внимание на пункты или шаги, по которым выполняется подробная оценка:

  • Разложить при необходимости на простые элементы.
  • Определить D (z). Если ее график симметричный, то нужно переходить к следующему шагу. В противном случае результатом является функция общего вида.
  • Проверить, подставив в выражение отрицательное значение аргумента w (-x).
  • Выполнить сравнение: w (-x) = w (x).
  • Сделать соответствующий вывод.

Если w (-x) = w (x), то это свидетельствует о четности. При выполнении тождества w (-x) = -w (x) функция является нечетной. Важно обратить внимание на D, поскольку в некоторых точках равенства и условия могут не выполняться. Это свидетельствует о том, что искомая функция принадлежит к общему виду, то есть не является четной и нечетной.

Одним интересным способом является графический метод (принцип). Для его реализации нужно выполнить построение графика. Если он будет симметричным относительно оси ординат ОУ, то равенство w (-x) = w (x) будет выполняться. В случае симметричности относительно начала системы координат (точка пересечения осей абсцисс и ординат), будет справедливым равенство w (-x) = -w (x).

Следствия из утверждений

Свойства или следствия из утверждений расчетов позволяют оптимизировать процесс решения, поскольку нет необходимости выполнять какие-либо действия. Очень часто приходится тратить много времени на задание, которое можно решить за несколько минут. Математики выделяют следующие свойства для таких функций:

  • Симметричность графика: четная — относительно ОУ, а нечетная — относительно начала координат.
  • Функция эквивалентна сумме четной и нечетной.
  • Результат комбинации четных эквивалентен четной, а нечетных — нечетной.
  • Результирующее произведение: 2 четных — четное, 2 нечетных — четная, а 2 разной четности — нечетной.
  • Композиция: 2 нечетных — нечетна, четная и нечетная — четна, любая с четной — четна (не наоборот).
  • При взятии производной от четной результирующая является нечетной, а от нечетной — четной.
  • Определенный интеграл вида ∫(g (x))dx с границами от -А до А равен двойным интегралам ∫(g (x))dx с границей от -А до 0 и от 0 до А: ∫(g (x))dx |(-A;A) = 2∫(g (x))dx |(-A;0) = 2∫(g (x))dx |(0;A).
  • Определенный интеграл нечетной функции с границами -А и А равен 0.
  • Ряд Маклорена: четные степени соответствуют четной и наоборот.
  • Ряд Фурье: четная содержит только выражения с cos, а нечетная — sin.

Второе свойство можно записать математически таким образом: z (x) = y (x) + w (x). Выражение y (x) можно выразить следующим образом: y (x) = [z (x) — z (-x)] /2. Тождество w (x) выражается через z (x) формулой: w (x) = [z (x) + z (-x)] /2.

Классификация по четности

Специалисты давно уже исследовали некоторые функции. Примеры четных и нечетных можно классифицировать по признаку четности. Эти данные значительно ускоряют процесс анализа любого выражения. К нечетным функциям относятся следующие (следует учитывать, что аргумент «x» принадлежит множеству действительных чисел Z):

  • Возведение в степень, показатель которой является целым и нечетным.
  • Сигнум (sgn) — кусочно-постоянный тип, который задан несколькими формулами, объединенными в систему.
  • Радикал положительной нечетной степени.
  • Тригонометрические: sin (x), tg (x), ctg (x) и cosec (x).
  • Обратные тригонометрические: arcsin (x), arcctg (x), arcsec (x) и arccosec (x).
  • Гиперболические и их обратные выражения: гиперболические синус и косинус, а также ареасинус, ареатангенс и ареакотангенс.
  • Гудермана и обратная ей: gd (x) = arctg (sh (x)) и arcgd (x) = arch (sec (x)).
  • Интегральный синус: Si (x).
  • Матье: se (x).

Кроме того, существуют еще составные выражения, элементами которых являются простые функции. Для анализа необходимо руководствоваться свойствами. Следующий класс, который объединяет все четные выражения, состоит из следующего перечня:

  • Возведение в четную и целую степень.
  • Модуль аргумента.
  • Константа.
  • Тригонометрические: cos (x) и sec (x).
  • Гиперболические: косинус и секанс.
  • Дельта-функция Дирака: z (x) = δ(x).
  • Гаусса: z (x) = a * exp[(-(x — b)2) / 2c 2 ].
  • Кардинальный синус: sinc (x).

Остальные составляют класс общего вида, который не принадлежит к четным и нечетным. При решении задач необходимо иметь таблицу всех функций, которая должна быть составлена перед обучением.

Следует учитывать, что на экзаменах и контрольных функции, используемые для описания каких-либо процессов, практически не исследуются. Зная алгоритм, не составит особого труда проверить выражение на четность.

Следующим этапом, который поможет закрепить теоретические знания, считается практика.

Пример решения

Задачи исследования функции на четность встречаются редко, поскольку этот элемент входит в полный анализ ее поведения. Пусть дано тождество z (y) = (y 2 — y — 2) / (y 2 — 1). В этом случае следует действовать по алгоритму:

  • Состоит из двух элементов: g (y) = y 2 — y — 2 и h (y) = y 2 — 1.
  • Область значений: D (y 2 — y — 2) = (-бесконечность; +бесконечность) и D (y 2 — 1) = (-бесконечность; -1) U (-1;1) U (1; +бесконечность).
  • График функции является симметричным, поскольку задан параболой.
  • Выполнить анализ по формулам: g (-y) = (-y)2 + y — 2 = y 2 + y — 2 и h (-y) = (-y)2 — 1 = y 2 — 1.
  • В двух случаях функции являются нечетными: в первом — изменение знака, а во втором — от четной отнимается 1. Следовательно, искомое выражение является нечетной функцией.

Задачу можно решить вторым способом — проанализировать составляющие элементы. Например, знаменатель всегда будет нечетным, поскольку от четного y 2 отнимается нечетное число (6 — 1 = 5).

Этот способ используется в некоторых языках программирования, для написания подпрограмм и процедур, позволяющих проверить или отобрать все нечетные значения. Числитель также является нечетным, поскольку он содержит нечетный элемент «y».

Если построить график, используя любой из веб-ресурсов, то он окажется симметричным относительно начала координат.

Первое свойство свидетельствует о том, что функция является нечетной. Некоторые новички делают распространенную ошибку, считая, что отношение нечетных есть величина четная. Однако такое утверждение не применимо в этом случае. Если бы было произведение двух нечетных выражений, то результат являлся бы четным. Об этой особенности свидетельствует свойство под номером 4.

Таким образом, для исследования функции на предмет ее четности или нечетности нужно воспользоваться специальным алгоритмом, который рекомендуют математики. Он позволит выполнить операцию без ошибок и за короткий промежуток времени.

Источник: https://nauka.club/matematika/algebra/chetnost-i-nechetnost-funktsi.html

Юрист и закон
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: